מה זה סינוס?

מי מאיתנו לא צעק בבית הספר כי המתמטיקה לואף פעם לא שימושי. נדמה היה לכולנו שכל הנוסחאות האבסולוטיות, המשוואות המסורבלות והשמות המורכבים אינם קשורים כלל לחיים האמיתיים. אבל במוקדם או במאוחר כל הידע שקיבלנו בבית הספר מוצא את יישומו. וגם לדעת מה סינוס, קוסינוס או משיק יכול להציל את המוניטין שלך.

קצת גיאומטריה של בית הספר

לכן, הסינוס הוא יחס הממדים במשולש הימני. בואו נזכור מה משולש מלבני מורכב.

זוויות. סכום הזוויות במשולש הוא 180^o. הזווית הקדמית היא 90^o. לפיכך, שני האחרים בסכום צריך גם לתת 90^o. כלומר, יש לנו זווית ישרה אחת ושתיים חדות.

הצדדים. משולש מלבני מורכב hypotenuse ושתי רגליים. שתי רגליים יוצרים זווית ישרה, ואת hypotenuse שוכב ממולו.

מהו הסינוס של זווית? כאמור, יחס גובה-רוחב זה. אבל אילו? הסינוס של זווית חדה הוא היחס בין הרגל, הנמצאת מול זווית זו, ל hypotenuse. שקול את הדוגמה:

הסינוס של זווית A הוא היחס של הצד a (הרגל הפוכה) לצד B (hypotenuse).

הסינוס של זווית C הוא היחס בצד עם (הקתטה שוכב בצד הנגדי C) לצד B (hypotenuse).

כלומר, אם הצדדים שווים ל- = 3, c = 4, b = 5, אזי סינוס הזווית A יהיה 3/5, וגודל הזווית C יהיה 4/5.

מה זה נותן לנו? עד כה, שום דבר, אבל בואו נסתכל על דוגמה אחרת. בואו להגדיל את המשולש על ידי הרחבת הצדדים. עכשיו עשינו זאת:

כפי שניתן לראות מן הדמות, אורכי הצדדים גדלו, אבל הפינות לא. אבל מה הכי מעניין - היחס גם לא השתנה!

נניח, d = 6, k = 8, m = 10. ואז הסינוס של הזווית A הוא d / m = 6/10. אנו חותכים אותו על ידי שני הצדדים של המשוואה ולקבל את אותו 3/5, כמו במקרה הראשון! ולא משנה איך אתה משנה, להאריך או לקצר את הצדדים, היחס של הצדדים עדיין יהיה אותו הדבר.

לכן ברור כי הסינוס הוא ערך קבוע.

ועכשיו - טריגונומטריה

היוונים הקדומים הבחינו בכך זמן רב. הם חישבו את הסינוסים של הפינות העיקריות ורשמו אותם, כדי להמשיך להשתמש בכמויות שכבר היו מוכנות, ולא להמציא חדשים.

בנוסף לסינוס, לזווית יש גם קוסינוס(היחס של הרגל הסמוכה ל hypotenuse), את המשיק (היחס של הרגל ההפוכה אל הצמוד) ואת cotangent (היחס של הרגל הסמוכה להיפך). כל הכמויות הללו נקראים פונקציות טריגונומטריות של הזווית, ומשמשות לחישובים ולפתרון בעיות.

שולחנות מסתוריים של בראדיס

בכל פעם שאתה לא צריך לחשב את הסינוס. יש טבלאות בראדיס הידור במיוחד, שבו כל הסינים, cosines, משיקים cotangents נרשמות כבר. מכאן אנו מקבלים מידע. לדוגמה, אם אנחנו יודעים את הזווית, אנו מכירים את הסינוס ואת הקוסינוס. לעומת זאת, אם סינוס או קוסינוס ידוע, אנחנו יכולים בקלות למצוא את הזווית נתון.

מטבע הדברים, פונקציות טריגונומטריות אלה הן עצומות. זכור את כולם פשוט בלתי אפשרי, אבל למעשה לא הכרחי. הם משתמשים, בעיקר, רק בחלק מהם.

קצת על הפינות

אבל פונקציות טריגונומטריות הן לא רקזוויות חדה וימנית, הם גם עבור טיפש, אבל כאן למציאת שלהם, מעגל וגרף של צירים קואורדינטות כבר יהיה צורך. וזה סיפור אחר לגמרי.

סינויב

עכשיו בואו נראה מה זה סינוסואיד. זה נראה כמו סינוסייד כזה:

והוא גרף של שינוי הסינוסבהתאם לשינוי הזווית. כפי שהוזכר לעיל, הצדדים יכולים להשתנות, ואת הזווית נשארת זהה - אז הסינוס יהיה ללא שינוי. אבל אם הזווית משתנה, אז יחס הממדים משתנה, וכתוצאה מכך, את הערך הסינוס.

הסינוסואיד מציג שינויים מספריים בסינוסזווית הוא גרף של הפונקציה y = חטא (x). אין כאן דבר מסובך, במיוחד משום שערכי הסינים של כל הזוויות נכתבים בטבלאות בראדיס. אבל נזכור רק את הבסיסיים ביותר.

קצת יותר על הייעוד של זוויות

כולם יודעים שזוויות נמדדות במעלות אורדיאנים. מעלות אנו מודדים עם מפריד, שנראה כמו חצי עיגול. תואר אחד הוא 1/360 של מעגל. למה? כי כל זווית יכול להיות "פתח" או "סגור". אתה יכול אפילו לפתוח אותו לתור כולו ולקבל מעגל.

מחזור מלא, כידוע, 360^o. קו ישר הוא זווית של 180^o. כלומר, קוטר המעגל הוא 180^אודות. או מספר Pi. לכן, מתברר כי זווית יכול להיות כמו 90^o (במעלות), ופי / 2 (ברדיאנים).

עכשיו נסו לזכור את הסינוסים הבסיסיים ביותר. מה זוויות לבוא מיד?

זווית ישירה - 90^o, פי / 2 - חטא = 1

זווית נפרש הוא 180^o, פי - חטא = 0

זווית חריפה של 60^o - פי / 3 - חטא = 0.866

זווית חדה 45^o - פי / 4 - חטא = 0.7071