איך למצוא את קו הטרפז האמצעי?

קטע של קו ישר המחבר את מרכז לרוחבהצדדים של הטרפז, נקרא קו האמצע של הטרפז. איך למצוא את הטורפזיום באמצע הקו וכיצד הוא מתייחס אלמנטים אחרים של דמות זו, נדון להלן.

משפט קו האמצע

צייר טרפז שבו AD הוא גדול יותרבסיס, BC - בסיס קטן יותר, EF - קו אמצעי. אנו ממשיכים את הבסיס AD עבור נקודה ד 'צייר את הקו BF ולהמשיך אותו עד שהוא מצטלב עם המשכה של הבסיס AD בנקודה O. שקול משולשים ΔBCF ו ΔDFO. זוויות ∟ BCF = ∟ DD כמו אנכי. CF = DF, ∟BCF = ∟ FDO, כי ВС // АО. לפיכך, משולשים ΔBCF = ΔDFO. מכאן הצדדים BF = FO.

עכשיו לשקול ΔABO ו ΔEBF. ∟ABO נפוץ בשני משולשים. BE / AB = ½ במצב, BF / BO = ½, מאז ΔBCF = ΔDFO. כתוצאה מכך, משולשים ABO ו EFB דומים. מכאן היחס בין הצדדים EF / AO = ½, כמו גם את היחס בין הצדדים האחרים.

אנו מוצאים EF = ½ AO. ניתן לראות מן הציור כי AO = AD + DO. DO = BC כצדדים של משולשים שווים, ומכאן AO = AD + BC. מכאן EF = ½ AO = ½ (AD + BC). כלומר. אורכו של קו האמצע של הטרפז שווה למחצית הסכום של הבסיסים.

האם הקו האמצעי של הטרפז תמיד שווה למחצית מסכום הבסיסים?

נניח שיש מקרה מיוחד,כאשר EF ≠ 1 (AD + BC). אז לפנה"ס, ולכן, ΔBCF ≠ ΔDCF. אבל זה בלתי אפשרי, כי יש להם שני זוויות וצדדים שווים ביניהם. כתוצאה מכך, המשפט נכון בכל התנאים.

בעיית קו האמצע

נניח כי ב טרפז שלנו ABCD AD / BC, ∟A = 90 °, ∟C = 135 °, AB = 2 ס"מ, AC אלכסוני הוא מאונך לצד לרוחב. מצא את טרפז באמצע קו EF.

אם ∟A = 90 °, אז ∟B = 90 °, אז ΔABC הוא מלבני.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90 ° לפי תנאי, ולכן, ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135 ° - 90 ° = 45 °.

אם במשולש מלבני ΔABC זווית אחת היא 45 °, אז הרגליים בה שוות: AB = BC = 2 ס"מ.

Hypotenuse AC = √ (² ² + ВС²) = √ 8 ס"מ.

שקול ΔACD. ∟ ACD = 90 ° לפי תנאי. ∟CAD = ∟BCA = 45 ° כמו זוויות שנוצרו על ידי בסיסים מקבילים דקים של הטרפז. כתוצאה מכך, הרגליים AC = CD = √ 8.

Hypotenuse AD = √ (AC² + CD²) = √ (8 + 8) = √16 = 4 ס"מ.

קו הטרפזים הממוצע הוא EF = ½ (AD + BC) = ½ (2 + 4) = 3 ס"מ.